Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Kẻ CE ⊥ AB tại E, CF ⊥ AD tại F, BH ⊥ AC tại H và DK ⊥ AC tại K. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác AKD vuông tại K và tam giác CHB vuông tại H có:

AD = BC (do ABCD là hình bình hành)

\(\widehat {DAK} = \widehat {BCH}\) (AD // BC, hai góc so le trong)

Do đó, ∆AKD = ∆CHB (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AK = HC.

Xét hai tam giác AHB và AEC có:

\(\widehat {{\rm{AHB}}} = \widehat {{\rm{AEC}}} = 90^\circ \)

\(\widehat {{\rm{EAC}}}\): Góc chung

Do đó, ΔAHB ᔕΔAEC (g – g).

Suy ra \(\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{AH}}}}{{{\rm{AE}}}}\).

Suy ra AB ⋅ AE = AC ⋅ AH (1).

Xét hai tam giác ADK và ACF có:

\(\widehat {{\rm{AKD}}} = \widehat {{\rm{AFC}}} = 90^\circ \)

\(\widehat {{\rm{FAC}}}\): Góc chung

Do đó, ΔADK ᔕΔACF (g – g).

Suy ra \(\frac{{{\rm{AD}}}}{{{\rm{AC}}}} = \frac{{{\rm{AK}}}}{{{\rm{AF}}}}\).

Suy ra AD ⋅ AF = AC ⋅ AK (2).

Lấy (1) + (2) ta được AB ⋅ AE + AD ⋅ AF = AC ⋅ AH + AC ⋅ AK

Lại có AC ⋅ AH + AC ⋅ AK = AC ⋅ (AH + AK) = AC ⋅ (AH + HC) = AC ⋅ AC = AC².

Vậy AB ⋅ AE + AD ⋅ AF = AC².