Cho hình bình hành ABCD có AB < AD. Kẻ CE vuông góc với AB tại E, CF vuông góc với  AD tại F, BI vuông góc với AC tại I.

a Cho hình bình hành ABCD có \[AB < AD.\] Kẻ CE vuông góc với AB tại E, CF vuông góc với AD tại F, BI vuông góc với AC tại I.

a) Chứng minh:  và \(AB.AE = AI.AC\).

 Vẽ hình đúng đến câu a

   Xét \(\Delta AIB\) và \(\Delta AEC\) có:

\(\widehat {BAI}\) chung; \(\widehat {AIB} = \widehat {AEC} = 90^\circ \)

Do đó  (g.g)

Ta suy ra  \(\frac{{AI}}{{AE}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).

Do đó \(AB.AE = AI.AC\)

 b b) Chứng minh:  và \(AB.AE + AF.CB = A{C^2}\).

   Ta có: \[\widehat {BCI} = \widehat {CAF}\,\,\left( {BC\,{\rm{//}}\,AD} \right)\]

Xét \(\Delta CBI\)và \(\Delta ACF\) có:

\(\widehat {BCI} = \widehat {CAF}\,\,{\rm{(cmt)}}\)

\(\widehat {BIC} = \widehat {CFA} = 90^\circ \)

Do đó  (g.g)

   Ta có \(AB.AE = AC.AI\)(cmt)

Từ

Suy ra \(\frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{CI}}{{AF}}\), do đó \(AF.BC = AC.CI\).

Từ đó chứng minh được

\(AB.AE + AF.CB = A{C^2}\)

 c c) Chứng minh: \(\widehat {CEF} = \widehat {BCA}\).

 Chứng minh được \(\widehat {ABC} + \widehat {CBE} = 180^\circ \)

\(\widehat {ECF} + \widehat {FAE} = 180^\circ \)

Mà \(\widehat {EAF} = \widehat {EBC}\) nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ECF}\).

Chứng minh được  (g.g)

Suy ra \(\frac{{CE}}{{CF}} = \frac{{CB}}{{CD}}\) nên \(\frac{{CE}}{{CB}} = \frac{{CF}}{{AB}}\).

Chứng minh được

Suy ra \(\widehat {CEF} = \widehat {BCA}\)(đpcm)