Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, góc BAD = 60 độ (Hình 73)
8/9
Cho hình bình hành ABCD có AB = 4, AD = 6, BAD^=60° (Hình 73).
a) Biểu thị các vectơ BD→, AC→ theo AB→, AD→.
b) Tính các tích vô hướng AB→ . AD→, AB→ . AC→, BD→ . AC→.
c) Tính độ dài các đường chéo BD, AC.
a) Ta có: BD→=BA→+AD→=−AB→+AD→.
Do ABCD là hình bình hành nên AC→=AB→+AD→.
b) Ta có: AB→.AD→=AB→.AD→.cosAB→,AD→
=AB .AD.cosBAD^= 4 . 6 . cos60° = 12.
Do đó: AB→.AD→=12
Ta cũng có: AB→.AC→=AB→. AB→+AD→
=AB→2+AB→.AD→= AB2 + 12 = 42 + 12 = 28.
Do đó: AB→.AC→=28
Lại có: BD→.AC→=−AB→+AD→.AB→+AD→
=AD→−AB→.AD→+AB→=AD→2−AB→2
= AD2 – AB2 = 62 – 42 = 20.
Vậy BD→.AC→=20
c) Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABD có:
BD2 = AB2 + AD2 – 2 . AB . AD . cosA
= 42 + 62 – 2 . 4 . 6 . cos 60° = 28
⇒BD=28=27
Ta có: AC→=AB→+AD→⇒AC→2=AB→+AD→2
⇔AC→2=AB→2+2.AB→.AD→+AD→2
⇔AC2=AB2+2AB→.AD→+AD2
Suy ra: AC2 = 42 + 2 . 12 + 62 = 76
⇒AC=76=219.