Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD, gọi O là giao điểm của AF và DE, K là giao điểm của BF và CE. a) Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

a) Vì \(E\), \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) nên \(AE = EB = \frac{1}{2}AB\) và \(DF = FC = \frac{1}{2}DC.\)

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = CD\) và \(AD = BC.\)

Lại có \(AB = 2AD\) nên \(AE = EB = AE = EB = AD = BC.\)

Xét tứ giác \(AECF\) có \(AE\,{\rm{//}}\,CF\) (do \(ABCD\) là hình bình hành) và \(AE = CF\) (chứng minh trên) nên \(AECF\) là hình bình hành.

b) Xét tứ giác \(AEFD\) có \(AE\,{\rm{//}}\,FD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành) và \(AE = FD\) (chứng minh trên) nên \(AEFD\) là hình bình hành.

Lại có \(AE = AD\) (chứng minh câu a) nên \(AEFD\) là hình thoi.

c) Chứng minh tương tự câu b, ta cũng có tứ giác \(EBCF\) là hình thoi.

Vì \(AEFD\) là hình thoi nên \(AF \bot DE\) tại \(O,\) do đó \(\widehat {EOF} = 90^\circ .\)

Vì \(EBCF\) là hình thoi nên \(EC \bot BF\) tại \(K,\) do đó \(\widehat {EKF} = 90^\circ .\)

Vì \(AEFD\) là hình thoi nên \(DF = EF\) (hai cạnh kề bằng nhau)

Mà \(DF = \frac{1}{2}DC\) (do \(F\) là trung điểm của \(DC),\) suy ra \(EF = \frac{1}{2}DC.\)

Xét \(\Delta EDC\) có đường trung tuyến \(EF\) và \(EF = \frac{1}{2}DC\) nên \(\Delta EDC\) vuông tại \(E.\)

Suy ra \(\widehat {OEK} = 90^\circ .\)

Xét tứ giác \(OEKF\) có \(\widehat {EOF} = \widehat {EKF} = \widehat {OEK} = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật.