Cho hình bình hành (ABCD\) có (AB = 2AD). Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD

17/18

Cho hình bình hành $ABCD$ có $AB = 2AD$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$, gọi $O$ là giao điểm của $AF$ và $DE$, $K$là giao điểm của $BF$ và $CE$.

a) Chứng minh tứ giác $AECF$ là hình bình hành.

b) Chứng minh tứ giác $AEFD$ là hình thoi.

c) Tứ giác $OEKF$ là hình gì? Vì sao?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Cho hình bình hành (ABCD\) có (AB = 2AD). Gọi E,F lần lượt là trung điểm của AB và CD (ảnh 1)$

a) Vì $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ nên $AE = EB = \frac{1}{2}AB$ và $DF = FC = \frac{1}{2}DC.$

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB = CD$ và $AD = BC.$

Lại có $AB = 2AD$ nên $AE = EB = AE = EB = AD = BC.$

Xét tứ giác $AECF$ có $AE\,{\rm{//}}\,CF$ (do $ABCD$ là hình bình hành) và $AE = CF$ (chứng minh trên) nên $AECF$ là hình bình hành.

b) Xét tứ giác $AEFD$ có $AE\,{\rm{//}}\,FD$ (do $ABCD$ là hình bình hành) và $AE = FD$ (chứng minh trên) nên $AEFD$ là hình bình hành.

Lại có $AE = AD$ (chứng minh câu a) nên $AEFD$ là hình thoi.

c) Chứng minh tương tự câu b, ta cũng có tứ giác $EBCF$ là hình thoi.

Vì $AEFD$ là hình thoi nên $AF \bot DE$ tại $O,$ do đó $\widehat {EOF} = 90^\circ .$

Vì $EBCF$ là hình thoi nên $EC \bot BF$ tại $K,$ do đó $\widehat {EKF} = 90^\circ .$

Vì $AEFD$ là hình thoi nên $DF = EF$ (hai cạnh kề bằng nhau)

Mà $DF = \frac{1}{2}DC$ (do $F$ là trung điểm của $DC),$ suy ra $EF = \frac{1}{2}DC.$

Xét $\Delta EDC$ có đường trung tuyến $EF$ và $EF = \frac{1}{2}DC$ nên $\Delta EDC$ vuông tại $E.$

Suy ra $\widehat {OEK} = 90^\circ .$

Xét tứ giác $OEKF$ có $\widehat {EOF} = \widehat {EKF} = \widehat {OEK} = 90^\circ $ nên là hình chữ nhật.