Cho hình bình hành ABCD, chứng minh rằng BD^2 + AC^2 = 2.(AB^2 + AD^2).

Ta có O là tâm hình bình hành ABCD, O là trung điểm của AC

BO là trung tuyến của tam giác ABC ứng với cạnh AC nên

\(B{O^2} = \frac{{B{C^2} + B{A^2}}}{2} - \frac{{A{C^2}}}{4}\)

Hay 4BO² = 2(BC² + BA²) – AC² (1)

Mà O là trung điểm của BD nên BD = 2BO \( \Rightarrow \) BD² = 4BO²

(1)\( \Rightarrow \) BD² = 2(CB² + AB²) – AC² 

\( \Rightarrow \) BD² + AC² = 2(CB² + AB²) 

\( \Rightarrow \) BD² + AC² = 2(AB² + AD²) ( do AD = CB ) (điều cần phải chứng minh)