Cho hệ phương trình x+y =m và x^2 + y^2 = -m^2 + 6 (m là tham số). Hãy tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) 

Giải chi tiết

Nhận xét: x+y=mx2+y2=−m2+6 là hệ phương trình đối xứng loại 1.

Đặt S=x+y; P=xy. Điều kiện: S2≥4P.

⇒x2+y2=x+y2−2xy=S2−2P.

Ta có hệ: S=mS2−2P=−m2+6⇔S=mP=m2−3

Hệ phương trình có nghiệm x;y khi và chỉ khi

S2≥4P⇔m2≥4m2−12⇔3m2≤12⇔m2≤4⇔−2≤m≤2.

Ta có: A=xy+2x+y=m2−3+2m=m2+2m+1−4=m+12−4.

Vì −2≤m≤2⇔−1≤m+1≤3⇔0≤m+12≤9

⇒−4≤A≤5.

Giá trị nhỏ nhất của A là -4  đạt được khi m+1=0⇔m=−1.