Cho hệ phương trình x + m y = 1 ,m x − y = − m với m là tham số. Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn x < 0 và y > 0?

Đáp án đúng là: A

Để phương trình có nghiệm duy nhất khi \(\frac{1}{m}\) ≠ \(\frac{m}{{ - 1}}\) hay m² ≠ −1 , đúng với mọi m.

Ta có x = 1 – my.

Thay x = 1 – my vào phương trình mx – y = −m được m(1 – my) – y = −m

Suy ra m – m²y – y = −m, do đó y = \(\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}\).

Với y = \(\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}}\) thì x = \(\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}}\).

Để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y > 0\end{array} \right.\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 - {m^2}}}{{{m^2} + 1}} < 0\\\frac{{2m}}{{{m^2} + 1}} > 0\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}1 - {m^2} < 0\\2m > 0\end{array} \right.\) do đó \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m < - 1\\m > 1\end{array} \right.\\m > 0\end{array} \right.\) nên m > 1