Cho hệ phương trình mx + y = 3 và -x + y = 2

a) Với \(m = 2\) hệ phương trình đã cho có dạng:

\[\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 3\\ - x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 1\\ - x + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\ - \frac{1}{3} + y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\y = \frac{7}{3}\end{array} \right.\]

Vậy với \(m = 2\)hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \[\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{1}{3};\frac{7}{3}} \right)\].

 b) Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}mx + y = 3{\rm{ }}\left( 1 \right)\\ - x + y = 2{\rm{ }}\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Từ \(\left( 2 \right)\) ta có \(y = x + 2{\rm{ }}\left( 3 \right)\).

Thay \(\left( 3 \right)\)vào \(\left( 1 \right)\)ta được: \(mx + x + 2 = 3 \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)x = 1{\rm{ }}\left( 4 \right)\)

 Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi phương trình \(\left( 4 \right)\) có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 1\)

 Với \(m \ne  - 1\) phương trình \(\left( 4 \right)\) có 1 nghiệm \(x = \frac{1}{{m + 1}}\).

Từ \(\left( 2 \right)\) ta có \(y = \frac{1}{{m + 1}} + 2 = \frac{{2m + 3}}{{m + 1}}\).

Với \(m \ne  - 1\) hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{m + 1}}\\y = \frac{{2m + 3}}{{m + 1}}\end{array} \right.\)

Theo bài ra \({x^2} + {y^2} = 10\)\[ \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{{m + 1}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{2m + 3}}{{m + 1}}} \right)^2} = 10\]

 \[ \Leftrightarrow 1 + {\left( {2m + 3} \right)^2} = 10{\left( {m + 1} \right)^2}\]

\[ \Leftrightarrow 1 + 4{m^2} + 12m + 9 = 10{m^2} + 20m + 10\]

 \[ \Leftrightarrow 6{m^2} + 8m = 0\]

\[ \Leftrightarrow 2m\left( {3m + 4} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = \frac{{ - 4}}{3}\end{array} \right.\] (thỏa mãn).

Vậy \[m \in \left\{ {\frac{{ - 4}}{3};0} \right\}\]thỏa mãn đề bài