Cho hệ phương trình mx -y = 3 và 3x + my = 4

29/37

Cho hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{mx - y = 3}\\{3x + my = 4}\end{array}} \right.\) (với \(m\) là tham số). Số các giá trị nguyên của \(m\) để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x\,;y} \right)\)

thỏa mãn \(x > 0\), \(y < 0\) là

\(5\).

\(2\).

\(4\).

\(3\).

Giải thích

Chọn C

Hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{mx - y = 3}\\{3x + my = 4}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = mx - 3\\3x + m\left( {mx - 3} \right) = 4\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\)\( \Leftrightarrow 3x + {m^2}x - 3m = 4\)\( \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 3} \right)x = 3m + 4\)

Vì \({m^2} + 3 > 0\) với mọi \(m\) nên phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi \(m\)

Khi đó: \(x = \frac{{3m + 4}}{{{m^2} + 3}}\)\( \Rightarrow y = m \cdot \frac{{3m + 4}}{{{m^2} + 3}} - 3\)\( \Leftrightarrow y = \frac{{3{m^2} + 4m}}{{{m^2} + 3}} - \frac{{3{m^3} + 9}}{{{m^2} + 3}}\)\( \Leftrightarrow y = \frac{{4m - 9}}{{{m^2} + 3}}\)

Do đó: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y < 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m + 4 > 0\\4m - 9 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m > - 4\\4m < 9\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > \frac{{ - 4}}{3}\\m < \frac{9}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 4}}{3} < m < \frac{9}{4}\)

Mà \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 1\,;\,0\,;\,1\,;\,2} \right\}\)

Vậy số các giá trị nguyên của \(m\) là \(4\).