Cho hệ phương trình: mx + ( m+1) y =1 và ( m+1)x- my = 8m +3 . Chứng minh hệ luôn có nghiệm duy nhất (x,y)

Xét hai đường thẳng d1:mx+m+1y−1=0;d2:m+1x−my−8m+3=0.

+ Nếu  m=0 thì d1:y−1=0 và d2: x−5=0 suy ra d1luôn vuông góc với d2.

+ Nếu m=-1  thì d1:x+1=0  và  d2: y+11=0suy ra d1 luôn vuông góc với d2.

+ Nếu m≠0;1 thì đường thẳng d1,d2 lần lượt có hệ số góc là: a1=−mm+1,a2=m+1m suy ra a1.a2=−1 do đó d1⊥d2 .

Tóm lại với mọi m thì hai đường thẳng d1 luôn vuông góc với d2. Nên hai đường thẳng luôn vuông góc với nhau.

Xét hai đường thẳng d1:mx+m+1y−1=0;d2:m+1x−my−8m+3=0 luôn vuông góc với nhau nên nó cắt nhau, suy ra hệ có nghiệm duy nhất