Cho hệ phương trình {(m+1)x−y=m+1(1); x+(m−1)y=2(2) Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn trên theo tham số m.

Từ (1), ta có

y = (m + 1)x – (m + 1) (3)

Thế vào (2) ta được

x + (m – 1)[(m + 1)x - (m + 1)] = 2

\( \Leftrightarrow x + \left( {{m^2} - 1} \right)x - \left( {{m^2} - 1} \right) = 2\)

\( \Leftrightarrow {m^2}x = {m^2} + 1\) (4)

• TH1: Nếu m ≠ 0 thì PT (4) có nghiệm duy nhất

\(x = \frac{{{m^2} + 1}}{{{m^2}}}\) thay vào (3) ta có

\(y = \left( {m + 1} \right)\frac{{{m^2} + 1}}{{{m^2}}} - \left( {m + 1} \right) = \frac{{\left( {m + 1} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) - {m^2}\left( {m + 1} \right)}}{{{m^2}}}\)

\( = \frac{{{m^3} + m + {m^2} + 1 - {m^3} - {m^2}}}{{{m^2}}} = \frac{{m + 1}}{{{m^2}}}\)

Khi đó hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{m^2} + 1}}{{{m^2}}};\frac{{m + 1}}{{{m^2}}}} \right)\).

• TH2: Nếu m = 0 thì PT (4) trở thành 0x = 1 nên vô nghiệm

Khi đó hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy với m ≠ 0 hệ có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{m^2} + 1}}{{{m^2}}};\frac{{m + 1}}{{{m^2}}}} \right)\);

với m = 0 hệ vô nghiệm.