Cho hệ phương trình (m - 1)x - my = 3m - 1 và 2x - y = m + 5. Tìm m để có nghiệm duy nhất (x; y)

Đáp án A

Ta có  

m−1x−my=3m−12x−y=m+5⇔y=2x−m−5m−1x−m2x−m−5=3m−1⇔y=2x−m−5m−1x−2mx+m2+5m=3m−1⇔y=2x−m−5−m−1x=−m2−5m+3m−1⇔y=2x−m−5m+1x=m2+2m+1⇔y=2x−m−5   1m+1x=m+12      2

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất hay m ≠ −1

Khi đó từ phương trình (2) ta suy ra x=m+12m+1=m+1, thay x = m + 1vào phương trình (1) ta được y = 2(m + 1) – m – 5 = m – 3

Vậy với m ≠ −1 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (m + 1; m – 3)

Ta xét

S=x2+y2=(m+1)2+(m–3)2 =m2+2m+1+m2−6m+9=2m2–4m+10=2(m2–2m+1)+8=2(m–1)2+8

Vì (m–1)2 ≥0; ∀m⇒2(m–1)2+8≥8; ∀m

Hay S ≥ 8; ∀m. Dấu “=” xảy ra khi m – 1 = 0 ⇔ m = 1 (TM)

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm