Cho hệ phương trình: (m-1)x -my = 3m-1 ; 2x -y = m +5

m−1x−my=3m−12x−y=m+5

⇔ m−1x−m2x−m−5=3m−1y=2x−m−5

⇔m−1x−2mx+m2+5m=3m−1y=2x−m−5

⇔  m+1x=m+121y=2x−m−52

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất hay m ≠ −1

Khi đó từ phương trình (2) ta suy ra x=m+12m+1=m+1 thay x = m + 1 vào phương trình (1) ta được y = 2(m + 1) – m – 5 = m – 3

Vậy với m ≠ −1 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (m + 1; m – 3)

Ta xét

S = x² + y²

= (m + 1)² + (m – 3)² 

= m² + 2m + 1 + m² − 6m + 9

= 2m² – 4m + 10

= 2(m² – 2m + 1) + 8

= 2(m – 1)² + 8

Vì (m – 1)² ≥0; ∀m ⇒ 2(m – 1)² + 8 ≥ 8

Hay S ≥ 8; ∀m.

Dấu “=” xảy ra khi m – 1 = 0 ⇔ m = 1 (TM)

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.