Cho hệ phương trình (a+1)x -ay = 5 (x+ay) = a^2 +4 a (a là tham số). Tìm a nguyên để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y nguyên.

Cộng vế với vế 2 phương trình của hệ đã cho ta có (a + 1)x + x = a² + 4a + 5 suy ra (a + 2)x = a² + 4a + 5.

Với a ¹ –2, phương trình (1) có nghiệm \({\rm{x}} = \frac{{{{\rm{a}}^2} + 4{\rm{a}} + 5}}{{{\rm{a}} + 2}} = {\rm{a}} + 2 + \frac{1}{{{\rm{a}} + 2}}\).

Thay \({\rm{x}} = \frac{{{{\rm{a}}^2} + 4{\rm{a}} + 5}}{{{\rm{a}} + 2}}\) vào phương trình thứ hai trong hệ ta có:

\(\frac{{{{\rm{a}}^2} + 4{\rm{a}} + 5}}{{{\rm{a}} + 2}} + {\rm{ay}} = {{\rm{a}}^2} + 4{\rm{a}}\), suy ra \({\rm{y = }}\frac{{{{\rm{a}}^3} + 5{{\rm{a}}^2} + 4{\rm{a}} - 5}}{{{\rm{a}}\left( {{\rm{a}} + 2} \right)}}\).

Để x là số nguyên thì \(\frac{1}{{{\rm{a}} + 2}}\) là số nguyên. Suy ra, a + 2 Î Ư(1) = {1; –1}.

Với a + 2 = 1 thì a = –1. Khi đó, y = 5 (thỏa mãn).

Với a + 2 = –1 thì a = –3. Khi đó, y = \(\frac{1}{3}\) (không thỏa mãn).

Vậy a = –1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.