Cho hệ bất phương trình x + y >= 5;x - 2y =< 2; y =< 3) (I). Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m để bất phương trình 2x - 5y + m =< 0 nghiệm đúng với mọi cặp số (x;y) thỏa mãn hệ bất phương tr

 Lời giải

Có \(2x - 5y + m \ge 0\)\( \Leftrightarrow m \ge  - 2x + 5y\).

Để bất phương trình \(2x - 5y + m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left( I \right)\) thì \(m \ge \max \left( { - 2x + 5y} \right)\) với mọi cặp số \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left( I \right)\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác \(ABC\)( kể cả cạnh của tam giác) (phần tô màu) với \(A\left( {2;3} \right),B\left( {8;3} \right),C\left( {4;1} \right)\).

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) =  - 2x + 5y\) đạt được tại một trong ba điểm \(A\left( {2;3} \right),B\left( {8;3} \right),C\left( {4;1} \right)\)

Ta có \(F\left( {2;3} \right) =  - 2 \cdot 2 + 5 \cdot 3 = 11\); \(F\left( {8;3} \right) =  - 2 \cdot 8 + 5 \cdot 3 =  - 1\); \(F\left( {4;1} \right) =  - 2 \cdot 4 + 5 \cdot 1 =  - 3\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(F\left( {x;y} \right) =  - 2x + 5y\) là 11.

Do đó \(m \ge 11\).

Vì m nhỏ nhất nên \(m = 11\).

Trả lời: 11.