Cho hệ bất phương trình 0 =< y =< 5; x >= 0; x + y - 2 >= 0; x - y - 2 =< 0 có miền nghiệm là S.

Lời giải

a) Thay \(\left( {1;2} \right)\) vào hệ bất phương trình ta được \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le 2 \le 5\\1 \ge 0\\1 + 2 - 2 \ge 0\\1 - 2 - 2 \le 0\end{array} \right.\) (đúng).

Vậy \(\left( {1;2} \right) \in S\).

b) Thay \(\left( {2;2} \right)\) vào hệ bất phương ta được \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le 2 \le 5\\2 \ge 0\\2 + 2 - 2 \ge 0\\2 - 2 - 2 \le 0\end{array} \right.\) (đúng).

Vậy \(\left( {2;2} \right) \in S\).

c) Vẽ các đường thẳng \(y = 5;x + y - 2 = 0;x - y - 2 = 0\) trên mặt phẳng tọa độ.

Ta có điểm \(\left( {2;2} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền của tứ giác \(ABCD\) (kể cả các cạnh của tứ giác) (phần tô màu) với \(A\left( {2;0} \right),B\left( {0;2} \right),C\left( {0;5} \right),D\left( {7;5} \right)\).

d) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x - 2y\) đạt được tại một trong 4 điểm \(A\left( {2;0} \right),B\left( {0;2} \right),C\left( {0;5} \right),D\left( {7;5} \right)\).

Ta có \(F\left( {2;0} \right) = 2 - 2 \cdot 0 = 2\);

\(F\left( {0;2} \right) = 0 - 2 \cdot 2 =  - 4\);

\(F\left( {0;5} \right) = 0 - 2 \cdot 5 =  - 10\);

\(F\left( {7;5} \right) = 7 - 2 \cdot 5 =  - 3\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F\) là \( - 10\).

Đáp án: a) Sai;    b) Đúng;    c) Sai;    d) Sai.