Cho hàm số\[y ={2x + 1}}{{x + 1} có đồ thị (C), gọi (I) là tâm đối xứng của đồ thị C

101/235

Cho hàm số\[y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\]có đồ thị \((C)\), gọi \(I\) là tâm đối xứng của đồ thị \((C)\), và \(M(a;b)\) là một điểm thuộc đồ thị. Tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) tại điểm \(M\) cắt hai tiệm cận của đồ thị \((C)\) lần lượt tại hai điểm A, B.

Xét trường hợp tam giác IAB có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất. Mệnh đề nào dưới đây là sai?

Có 2 điểm M thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Tổng \(a + b\) là một số dương.

Tam giác IAB có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất bằng \[1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\]

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) qua \(M\) luôn nhỏ hơn \(1\).

Giải thích

Phương pháp giải:

Viết phương trình tiếp tuyến.

Giải chi tiết:

Ta có \(I( - 1;2),\;M\left( {a;\frac{{2a + 1}}{{a + 1}}} \right),\;y'(a) = \frac{1}{{{{(a + 1)}^2}}}.\)

Phương trình tiếp tuyến tại M là \[y = \frac{1}{{{{(a + 1)}^2}}}(x - a) + \frac{{2a + 1}}{{a + 1}}.\]

Tọa độ A,B sẽ lần lượt là \[\left( { - 1;\frac{{2a}}{{a + 1}}} \right),\;(2a + 1;2).\]

Ta có \[IA = \frac{2}{{|a + 1|}},\quad IB = 2|a + 1| \Rightarrow {S_{IAB}} = \frac{1}{2}{\mkern 1mu} IA \cdot IB = 2 = p \cdot r.\]

Lại có \[p = IA + IB + AB = IA + IB + \sqrt {I{A^2} + I{B^2}} \ge 2\sqrt {IA \cdot IB} + \sqrt {2{\mkern 1mu} IA \cdot IB} = 4 + 2\sqrt 2 .\]

Suy ra khi p đạt giá trị nhỏ nhất, tại đó IA=IB.

Suy ra M là giao điểm của đường thẳng đi qua I có hệ số góc k= -1 và đồ thị (C).

Phương trình của đường thẳng IM là

\[y - 2 = - (x + 1) \Leftrightarrow y = - x + 1.\]

Hoành độ của M là nghiệm của phương trình

\[ - x + 1 = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 2}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M(0;1),}\\{M( - 2;3).}\end{array}} \right.\]

Khi đó y'(0)=1, y'(-2)=1.

Đáp án: D