Cho hàm số f(x) = x^4 - 2x^2 + 3. Hàm số y = f(2sin x + 3) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

86/235

Cho hàm số \[f(x) = {x^4} - 2{x^2} + 3.\] Hàm số \[y = f(2\sin x + 3)\] đồng biến trên khoảng nào sau đây?

\(\left( { - \frac{{2\pi }}{3};0} \right)\).

\(\left( { - \frac{{3\pi }}{2}; - \frac{\pi }{2}} \right)\).

\(\left( {\frac{\pi }{3};\frac{{2\pi }}{3}} \right)\).

\(\left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{7\pi }}{3}} \right)\).

Giải thích

Phương pháp giải:

Tính đạo hàm và xét tính đơn điệu của hàm số.

Giải chi tiết:

Ta có:

\[f'(x) = 4{x^3} - 4x = 4x(x - 1)(x + 1).\]

Suy ra:

\[\frac{d}{{dx}}[f(2\sin x + 3)] = 2\cos x \cdot f'(2\sin x + 3).\]

Do \(2\sin x + 3 \ge 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên:

\[f'(2\sin x + 3) \ge 0.\]

Vì vậy, dấu của đạo hàm phụ thuộc vào \(\cos x\).

Hàm số đồng biến khi:

\[\cos x \ge 0 \Rightarrow x \in \left[ { - \frac{\pi }{2} + 2k\pi ;\frac{\pi }{2} + 2k\pi } \right],\;k \in \mathbb{Z}.\]

Trong các phương án, khoảng phù hợp là:

\[\left( {\frac{{3\pi }}{2};\frac{{7\pi }}{3}} \right).\]

Đáp án: D.