Cho hàm số   Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  để giá trị lớn nhất của hàm số lớn hơn hoặc bằng 4.(nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án đúng là "14"

Phương pháp giải

Xác định GTNN và GTLN

Lời giải

Ta có:

\({\rm{max}}y \le 4 \Leftrightarrow \left| {\frac{{{x^2} - 2mx + 1}}{{{x^2} - x + 2}}} \right| \le 4\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \left| {{x^2} - 2mx + 1} \right| \le 4.\left( {{x^2} - x + 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 2mx + 1 \le 4.\left( {{x^2} - x + 2} \right)}\\{ - 4.\left( {{x^2} - x + 2} \right) \le {x^2} - 2mx + 1}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3{x^2} + \left( {4 - 2m} \right)x - 7 \le 0}\\{5{x^2} - \left( {4 + 2m} \right)x + 9 \ge 0}\end{array}{\rm{\;}},\forall x \in R} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(2 - m)}^2} - 21 \le 0}\\{{{(2 + m)}^2} - 45 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 \le m \le 6}\\{ - 8 \le m \le 4}\end{array} \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 4} \right.} \right.\)

Ta thấy  nên \(m \in \left( { - \infty ; - 2\left]  \cup  \right[4; + \infty } \right)\) thì \({\rm{max}}y \ge 4\).

Kết hợp điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \in \left[ { - 10;10} \right]}\\{m \in \mathbb{Z}}\end{array} \Rightarrow m \in \left\{ { - 8; - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2;4;5;6;7;8;9;10} \right\}} \right.\)

Vậy có 14 giá trị \(m\) thỏa mãn