Cho hàm số  có đồ thị (C) và điểm M(m; 4). Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để qua M  có hai tiếp tuyến của đồ thị (C).

Đáp án đúng là "3"

Phương pháp giải

Xác định phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc (C)

Lời giải

Gọi điểm \(A\left( {a;{a^3} + 3{a^2} + 4} \right) \in \left( C \right)\)

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\) là:

\(y = \left( {3{a^2} + 6a} \right)\left( {x - a} \right) + {a^3} + 3{a^2} + 4\)

Do tiếp tuyến đi qua điểm \(M\left( {m;4} \right)\) nên ta có: \(\left( {3{a^2} + 6a} \right)\left( {m - a} \right) + {a^3} + 3{a^2} + 4 = 4\)

\( \Leftrightarrow a\left( { - 2{a^2} - 3a + 3am + 6m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0}\\{ - 2{a^2} + a\left( {3m - 3} \right) + 6m = 0\left( 1 \right)}\end{array}} \right.\)

Để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị \(\left( C \right)\) ta có 2 trường hợp:

TH1: Phương trình (1) có nghiệm kép khác 0

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6m \ne 0}\\{{\rm{\Delta }} = {{(3m - 3)}^2} + 48m = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ne 0}\\{9{m^2} + 30m + 9 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m =  - 3}\\{m = \frac{{ - 1}}{3}}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Th2: Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt 1 nghiệm bằng 0

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{9{m^2} + 30m + 9 > 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m >  - \frac{1}{3}}\\{m <  - 3}\end{array}} \right.}\end{array} \Rightarrow m = 0} \right.} \right.\)