Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên R; f(0) = - 1, hàm số y=f'(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên.

a) ĐÚNG. Bài cho \(f\left( 0 \right) = - 1 \ne 0\), do đó đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt trục tung tại \(\left( {0; - 1} \right)\), tức là không đi qua gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\).

b) SAI. Nhìn vào đồ thị của \(f'\left( x \right)\), trong khoảng \(\left( {0;3} \right)\), phần đường cong nằm hoàn toàn phía trên trục hoành ngoại trừ tại các điểm biên, nên \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;3} \right)\) là đúng. Tuy nhiên, đồ thị \(f'\left( x \right)\) cũng nằm phía trên trục hoành khi \(x < 0\) (tại \(x = - 1,y = 4 > 0\)). Do đó mệnh đề tương đương “\( \Leftrightarrow \)” là sai vì thiếu khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

c) ĐÚNG. Đồ thị \(f'\left( x \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ \(x = 0\) và \(x = 3\).

d) ĐÚNG. Ta lập bảng biến thiên của \(f\left( x \right)\) dựa vào đồ thị \(f'\left( x \right)\):

\( - \infty \) \(0\) \(3\) \( + \infty \)

\(f'\left( x \right)\)

\( + \) \(0\) \( + \) \(0\) \( - \)

\(f\left( x \right)\)

\( - 1\)

Từ bảng biến thiên:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) luôn đồng biến trên \(\left( { - \infty ;3} \right)\).

Khi qua \(x = 3\), \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm\( \to \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực đại tại \(x = 3\).

Vì hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;3} \right)\) và \(f\left( 0 \right) = - 1\), nên tại \(x = 3\) giá trị \(f\left( 3 \right) > f\left( 0 \right) = - 1\).

Phương trình \(f\left( x \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = - 2\). Vì hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;3} \right)\) từ \( - \infty \) qua \(f\left( 0 \right) = - 1\) tới \(f\left( 3 \right)\), nên đường thẳng \(y = - 2\) sẽ cắt nhánh đồng biến này tại đúng 1 điểm (trước \(x = 0\)). Sau đó từ \(f\left( 3 \right)\) hàm số nghịch biến đi xuống \( - \infty \), đường \(y = - 2\) sẽ cắt nhánh nghịch biến tại 1 điểm nữa. Vậy phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.