Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên R , biết f(4)=5

Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định và có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\), biết \(f(4) = 5\) và \({f^\prime }(4) = 2\). Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{f^2}(x) + f(x) - 30}}{{\sqrt x  - 2}}\) bằng (1) __ 88 __.

Giải thích

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{{f^2}(x) + f(x) - 30}}{{\sqrt x  - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{(f(x) - 5)(f(x) + 6)}}{{\sqrt x  - 2}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \left[ {\frac{{f(x) - f(4)}}{{x - 4}}.(\sqrt x  + 2).(f(x) + 6)} \right] = {f^\prime }(4).(\sqrt 4  + 2).(f(4) + 6) = 88\) (vì

\[{f^\prime }\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {\frac{{f(x) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}} \right)\]