Cho hàm số y=fx liên tục trên ℝcó đồ thị hàm số y=f'x cho như hình vẽ. Hàm số gx=2fx−1−x2+2x+2020 đồng biến trên khoảng nào?

Chọn D

Ta có: gx=2fx−1−x2+2x+2020⇔gx=2fx−1−x−12+2021

Xét hàm số kx−1=2fx−1−x−12+2021.

Đặt t=x−1

Xét hàm số: ht=2ft−t2+2021 ⇒h't=2f't−2t.

Kẻ đường y=−x như hình vẽ.

Khi đó: h't>0⇔f't−t>0⇔f't>t⇔t<−11<t<3.

Do đó: k'x−1>0⇔x−1<−11<x−1<3⇔x<02<x<4.

Ta có bảng biến thiên của hàm số kx−1=2fx−1−x−12+2021.

Khi đó, ta có bảng biến thiên của gx=2fx−1−x−12+2021 bằng cách lấy đối xứng qua đường thẳng x=1 như sau: