Cho hàm số y=f(x) có đồ thị hàm số y=f'(x) như hình vẽ.

a) SAI. Trên khoảng \(\left( {2;3} \right)\), đồ thị \(f'\left( x \right)\) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành (\(f'\left( x \right) < 0\)) nên hàm số phải nghịch biến.

b) ĐÚNG. Trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\), đồ thị \(f'\left( x \right)\) cắt trục hoành tại một điểm \({x_0} = 1\) theo chiều từ trên xuống dưới (đổi dấu từ dương sang âm), nên đó là điểm cực đại.

c) SAI. Đồ thị đạo hàm chưa đủ để khẳng định chắc chắn số nghiệm của \(f\left( x \right) = 0\).

d) ĐÚNG. Từ đồ thị \(y = f'\left( x \right)\), ta lập được bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\), từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[ { - 1;3} \right]\) chỉ có thể là \(f\left( { - 1} \right)\) hoặc \(f\left( 3 \right)\). Ta cần so sánh hai giá trị này.

Từ giả thiết biến đổi như sau:

\(f\left( { - 1} \right) - f\left( 3 \right) = 2f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) - f\left( 2 \right)\)\( \Leftrightarrow f\left( { - 1} \right) - f\left( 3 \right) = \left[ {f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right)} \right] + \left[ {f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right)} \right]\).

Vì hàm số đồng biến trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) nên \(f\left( 1 \right) > f\left( 0 \right) \Rightarrow f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) > 0\).

Vì hàm số nghịch biến trên \(\left[ {1;3} \right]\) nên \(f\left( 1 \right) > f\left( 2 \right) \Rightarrow f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right) > 0\).

Do đó: \(\left[ {f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right)} \right] + \left[ {f\left( 1 \right) - f\left( 2 \right)} \right] > 0 \Rightarrow f\left( { - 1} \right) - f\left( 3 \right) > 0 \Rightarrow f\left( { - 1} \right) > f\left( 3 \right)\).

Vì \(f\left( { - 1} \right) > f\left( 3 \right)\) nên giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 1;3} \right]\) chính là \(f\left( 3 \right)\).