Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm trên R và f'(x) là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

a) Sai. Ta có \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - x + 1 = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = x - 1\,\,\,\,\,\,(1)\)

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của \(y = f'\left( x \right)\) và \(y = x - 1\). Vẽ đồ thị của hai hàm số này trên cùng 1 hệ trục tọa độ ta thấy 2 đồ thị cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ \(x = - 3;\,\,x = - 1;\,\,x = 1\).

Lập bảng biến thiên của \(g'\left( x \right)\)Dựa vào bảng biến thiên suy ra đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) tại bốn điểm phân biệt khi và chỉ khi \(\max \{ g( - 3);\,\,g(1)\} < m < g( - 1).\)b) Đúng. Dựa vào thị của \(f'(x)\) ta thấy \(f'(x) = 0\) có hai nghiệm \(x = - 2\) (nghiệm kép) và \(x = 1\) (nghiệm đơn). Do đó \(f'(x) = a{(x + 2)^2}(x - 1)\), lại có \(f'( - 1) = - 2 \Rightarrow f'(x) = {(x + 2)^2}(x - 1)\).

Vậy \(h(x) = \frac{{2x + 1}}{{{{(x + 2)}^2}(x - 1)}} \cdot \)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} h(x) = + \infty ;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h(x) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } h(x) = 0\) nên \(x = - 2;x = 1\) là các tiệm cận đứng và \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(h(x)\).

c) Sai. Dựa vào đồ thị hàm số \(f'(x)\) ta thấy \(f'(x) \le 0,\,\,\forall x \le 1\) và \(f'(x) > 0,\,\,\forall x > 1\) nên hàm số chỉ đồng biến trên khoảng \((1; + \infty )\).

d) Sai. Lập bảng biến thiên của \(f(x)\)

Hàm số \(f(x)\) chỉ có một điểm cực tiểu \(x = 1.\)