Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0)=0 . Biết tích phân từ 0 đén 1 của f^2(x)dx=9/2 và tích phân từ 0 đến 1 của f'(x)cos(pi.x/2)dx=3pi/4 . Tích phân từ 0

Đáp án A

Đặt u=cosπx2dv=f'xdx⇒du=−π2sinπx2dxv=fx.

Suy ra    ∫01f'xcosπx2dx=cosπx2fx10+π2∫01fxsinπx2dx=f1.cosπ2−f0.cos0+π2∫01fxsinπx2dx=π2∫01fxsinπx2dx=3π4⇒∫01fxsinπx2dx=32.

Xét tích phân ∫01fx+ksinπx22dx=0

⇔∫01f2x+2kfxsinπx2+k2sin2πx2dx=0⇔∫01f2xdx+2k∫01fxsinπx2+k2∫01sin2πx2dx=0⇔92+2k32+12k2=0⇔k=−3.

Khi đó ta có: ∫01fx−3sinπx22dx=0⇔fx−3sinπx2=0⇔fx=3sinπx2.

Vậy ∫01fxdx=3∫01sinπx2dx=−3.cosπx2π210=−6πcosπx210=−6πcosπ2−cos0=6π.