Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f'(x) trên R . Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số y=f'(x) . Hỏi hàm số g(x)=f(x^2+2) nghịch biến trên khoảng nào?

Hàm số gx=fx2+2  liên tục và xác định trên R ;g'x=2xf'x2+2 .

Cho g'x=0 , kết hợp với đồ thị hàm số y=f'x  ta được:

                                       x=0f'x2+2=0⇔x=0x2+2=−2x2+2=2x2+2=5⇔x=0x=3x=−3 .

Từ đồ thị đã cho ta có f'x>0⇔−2<x<2x>5

Suy ra f'x2+2>0⇔−2<x2+2<2x2+2>5⇔−4<x2<0x2>3⇔x>3x<−3.

Lập luận tương tự, ta có: f'x2+2<0⇔2<x2+2<5x2+2<−2⇔0<x2<3⇔−3<x<3 .

Bảng biến thiên

 

Dựa vào bảng biến thiên hàm số nghịch biến trên các khoảng  −∞;−3  và 0;3  .