Cho hàm số y=f(x) có bảng biến thiên sau. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
48/50
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau.
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} - 3{\rm{x}}} \right) - \frac{1}{5}{x^5} + \frac{5}{3}{x^3} - 4{\rm{x}} - \frac{7}{{15}}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\)?
\( - 19\)
\( - 20\)
\( - 21\)
\( - 22\)
Đáp án A
Ta có \(g'\left( x \right) = \left( {3{{\rm{x}}^2} - 3} \right)f'\left( {{x^3} - 3{\rm{x}}} \right) - {x^4} + 5{{\rm{x}}^2} - 4\)
\( = \left( {{x^2} - 1} \right)\left[ {3f'\left( {{x^3} - 3{\rm{x}}} \right) + 4 - {x^2}} \right]\).
Với \(x \in \left[ { - 1;2} \right] \Rightarrow {x^3} - 3{\rm{x}} \in \left[ { - 2;2} \right]\) nên \(f'\left( {{x^2} - 3{\rm{x}}} \right) > 0,\forall x \in \left[ { - 2;2} \right]\).
Và \(x \in \left[ { - 1;2} \right]\) thì \(4 - {x^2} \ge 0\) nên \(f'\left( {{x^3} - 3{\rm{x}}} \right) + 4 - {x^2} > 0,\forall x \in \left[ { - 1;2} \right]\).
Do đó g'x=0⇔x2−1=0⇔x=−1x=1
Dựa vào bảng biến thiên, ta được min−1;2gx=g1=f−2−3=−19