Cho hàm số y=ax^2 +bx+c có đồ thị đi qua điểm A(1,1) và cắt trục hoành tại hai điểm B,C sao cho tam giác ABC vuông đỉnh

Đồ thị hàm số đi qua A1;1  nên ta có .a+b+c=1 (1)

Gọi x1;x2  là nghiệm phương trình ax2+bx+c=0  thì Bx1;0,Cx2;0 . Tam giác ABC vuông đỉnh A nên AB→.AC→=0⇒x1−1x2−1+1=0⇒x1x2−x1+x2+2=0⇒2a+b+c=0  (2).

Từ (1) và (2) ta có a=−1,c=2−b  .

Ta có BC=x2−x12=x2+x12−4x2x1=b2−4aca2=b2−4b+8 . Tam giác ABC có diện tích S≤2  nên 12BC≤2⇒b2−4b+8≤22⇒b2−4b≤0 .

Ta có a=−1  nên hàm số có giá trị lớn nhất là M=−Δ4a=4ac−b24a=b2−4b+84 .

Vì b2−4b≤0 nên M=2⇔b=0b=4⇔y=−x2+2y=−x2+4x−2,