Cho hàm số y=1/3mx^3+( m-1)x^2+(4-3m)x+1  có đồ thị là (Cm). Tất cả các giá trị thực của tham số m để trên đồ thị  tồn tại một điểm duy

Hướng dẫn giải

Ta có: d:x+2y−3=0⇔y=−12x+32 nên hệ số góc của d là −12.

Do tiếp tuyến vuông góc với d nên hệ số góc của tiếp tuyến là k thì k.−12=−1⇔k=2.

Gọi Mx0;y0 là tiếp điểm của tiếp tuyến với Cm thì x0 là nghiệm của phương trình y'=k⇔mx2+2m−1x+4−3m=2.

⇔mx2+2m−1x+2−3m=0*

Theo bài toán thì ta phải tìm m để (*) có duy nhất một nghiệm âm.

+ Trường hợp 1: Nếu m=0 thì (*) ⇔−2x=−2⇔x=1 (loại).

+ Trường hợp 2: Nếu m≠0 . Ta thấy phương trình (*) có hai nghiệm là x=1  và x=2−3mm.

Do đó để (*) có một nghiệm âm thì 2−3mm<0⇔m<0 hoặc m>23.

Chọn D.