Cho hàm số y = x^4 − 4x^3 + ( m − 2 ) x^2 + 8 x + 4 có đồ thị hàm số ( C ) . Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

71/100

Cho hàm số $y = {x^4} - 4{x^3} + \left( {m - 2} \right){x^2} + 8x + 4$ có đồ thị hàm số $\left( C \right)$. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai?

Phát biểu

Đúng

Sai

Với $m = 2$ thì đồ thị hàm số $\left( C \right)$ đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Có tất cả 10 giá trị nguyên của $m$ để đồ thị hàm số $\left( C \right)$ đã cho cắt trục hoành

tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Đáp án

Phát biểu

Đúng

Sai

Với $m = 2$ thì đồ thị hàm số $\left( C \right)$ đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Có tất cả 10 giá trị nguyên của $m$ để đồ thị hàm số $\left( C \right)$ đã cho cắt trục hoành

tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1.

Giải thích

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^4} - 4{x^3} + \left( {m - 2} \right){x^2} + 8x + 4 = 0\left( {\rm{*}} \right)$

+ Với $m = 2 \Rightarrow $ Phương trình $\left( {\rm{*}} \right)$ trở thành:

${x^4} - 4{x^3} + 8x + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 2x - 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt 3 $

(Hoặc sử dụng máy tính ta tìm được 2 nghiệm của $x$ thỏa mãn phương trình)

$ \Rightarrow $ Đồ thị hàm số $\left( C \right)$ cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.

+ Ta thấy $x = 0$ không là nghiệm của $\left( {\rm{*}} \right)$ nên với $x \ne 0$ ta có:

$\left( {\rm{*}} \right) \Leftrightarrow {x^4} - 4{x^3} + 8x + 4 = \left( {2 - m} \right){x^2}$

$ \Leftrightarrow 2 - m = {x^2} - 4x + \frac{8}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}{\rm{\;}}\left( {{\rm{**}}} \right)$

Đồ thị hàm số $y = {x^4} - 4{x^3} + \left( {m - 2} \right){x^2} + 8x + 4$ cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ

lớn hơn $1 \Leftrightarrow \left( {\rm{*}} \right)$ có đúng hai nghiệm lớn hơn $1 \Leftrightarrow \left( {{\rm{**}}} \right)$ có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 .

$ \Leftrightarrow $ Đường thẳng $y = 2 - m$ cắt đồ thị hàm số $\left( C \right):y = {x^2} - 4x + \frac{8}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1.

Xét hàm số $y = {x^2} - 4x + \frac{8}{x} + \frac{4}{{{x^2}}}$ trên $\left( {1; + \infty } \right)$.

$ \Rightarrow y' = 2x - 4 - \frac{8}{{{x^2}}} - \frac{8}{{{x^3}}} = \frac{{2{x^4} - 4{x^3} - 8x - 8}}{{{x^2}}}$.

Cho $\left. {y' = 0 \Leftrightarrow 2{x^4} - 4{x^3} - 8x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x - 2} \right.} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - \sqrt 3 \,\,(L)\,\,\,\,}\\{x = 1 + \sqrt 3 \,\,(t/m)}\end{array}} \right.$.

Bảng biến thiên

$Cho hàm số $y = {x^4} - 4{x^3} + \left( {m - 2} \right){x^2} + 8x + 4$ có đồ thị hàm số $\left( C \right)$. Mỗi phát biểu sau đây là đúng hay sai? Phát biểu Đúng Sai Với $m = 2$ thì đồ thị hàm số $\left( C \right)$ đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.   Có tất cả 10 giá trị nguyên của $m$ để đồ thị hàm số $\left( C \right)$ đã cho cắt trục hoành tại đúng hai điểm có hoành độ lớn hơn 1.   (ảnh 1)$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, ycbt $ \Leftrightarrow 0 < 2 - m < 9 \Leftrightarrow - 7 < m < 2$.

Vì $m$ nguyên nên $m \in \left\{ { - 6, - 5, \ldots ,1} \right\}$.

Vậy có 8 giá trị nguyên của m thỏa mãn bài toán.