Cho hàm số y= -x^3+6x^2+2 có đồ thị (C) và điểm M(m,2). Gọi S là tập hợp các giá trị thực của m để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng đi qua Mm;2 và có hệ số góc k.

Khi đó phương trình của d là y=kx−m+2.

Để có đúng hai tiếp tuyến của (C) đi qua M thì hệ phương trình

k=−3x2+12x−x3+6x2+2=kx−m+2phải có hai nghiệm phân biệt.

Từ hệ trên, ta có −x3+6x2+2=−3x2+12xx−m+2

⇔x2x2−3m+2x+12m=0⇔x=02x2−3m+2x+12m=0  *

Để hệ có đúng hai nghiệm, ta xét các trường hợp sau

+ Trường hợp 1: Phương trình (*) có nghiệm kép khác 0

⇔Δ=9m+22−96m=012m≠0⇔m=6m=23.

+ Trường hợp 2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0

⇔Δ=9m+22−96m>012m=0⇔m=0

Vậy S=6;23;0 nên tổng các phần tử bằng 203

Chọn A.