Cho hàm số: y = x^3 -3x^2+3(1-m^2)x+1 Có bao nhiêu số nguyên

45/235

Cho hàm số: $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 (1 - m^{2}) x + 1$ . Có bao nhiêu số nguyên $m \in [1; 2024]$ để hàm số có hai điểm cực trị?. (Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án: _____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Đáp án đúng là "2024"

Phương pháp giải

Hàm số có hai cực trị $ \Leftrightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt

Lời giải

Xét hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 3\left( {1 - {m^2}} \right)x + 1$

Ta có: $y' = 3{x^2} - 6x + 3\left( {1 - {m^2}} \right)$

$y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3\left( {1 - {m^2}} \right) = 0$

Để hàm số có hai cực trị $ \Rightarrow y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt

$ \Rightarrow {\rm{\Delta '}} > 0$

$ \Rightarrow {3^2} - 3.3.\left( {1 - {m^2}} \right) > 0$

$ \Leftrightarrow 9 - 9 + 9{m^2} > 0 \Leftrightarrow 9{m^2} > 0 \Rightarrow m \ne 0$

Kết hợp với yêu cầu bài toán $m \in \left[ {1;2024} \right] \Rightarrow $ Có 2024 giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán