Cho hàm số y = x^3 - 3x^2 + x có đồ thị (C). Biết rằng qua điểm M(5/3, -7/3) có thể kẻ hai đường thẳng

Phương pháp giải:

Lập phương trình tiếp tuyến của \((C)\).

Giải chi tiết:

Ta có:

                                                         \[f'(x) = 3{x^2} - 6x + 1.\]

Phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại điểm \({x_0}\) là:

                       \[y = (3x_0^2 - 6{x_0} + 1)(x - {x_0}) + x_0^3 - 3x_0^2 + {x_0}.\]

Do tiếp tuyến đi qua điểm

                                        \[M\left( {\frac{5}{3}, - \frac{7}{3}} \right),\]

nên:

    \[ - \frac{7}{3} = (3x_0^2 - 6{x_0} + 1)\left( {\frac{5}{3} - {x_0}} \right) + x_0^3 - 3x_0^2 + {x_0}.\]

Rút gọn được:

                                           \[ - 6x_0^3 + 24x_0^2 - 30{x_0} + 12 = 0\]

                                  \[ \Leftrightarrow - 6({x_0} - 2){({x_0} - 1)^2} = 0.\]

Suy ra \({x_0} = 1\) hoặc \({x_0} = 2\).

Từ đó lập được hai tiếp tuyến \({d_1},{d_2}\) và tính được diện tích tam giác tạo bởi \({d_1},{d_2}\) và trục Ox là:

                                                        \[S = \frac{{49}}{{12}}.\]

Đáp án: B.