Cho hàm số y = - (x^3) + 3(x^2) + 4 có đồ thị (C). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Lời giải

a) Sai.

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y' =  - 3{x^2} + 6x\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 0\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là \(A\left( {0;4} \right)\) và \(B\left( {2;8} \right)\).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A,\,\,B\) có dạng: \(y = ax + b\). Khi đó ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}b = 4\\2a + b = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\end{array} \right.\). Vậy \(y = 2x + 4 \Leftrightarrow 2x - y - 4 = 0\).

b) Sai.

Hàm số có đạo hàm là \(y' =  - 3{x^2} + 6x\).

c) Đúng.

Từ đồ thị hàm số, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

d) Đúng.

Ta có \(\overrightarrow {OA}  = \left( {0;4} \right),\,\,\overrightarrow {OB}  = \left( {2;8} \right)\).

Diện tích tam giác \(OAB\) là: \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}\left| {0.8 - 2.4} \right| = 4\).