Cho hàm số y = x^3 – 3x^2 + 2 có đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) tại

a) Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y' = 3x² – 6x²

           y' = 0 ⇔ 3x² – 6x² = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 và y_CĐ = y(0) = 2.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 và y_CT = y(2) = −2.

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \)

Ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (3; 2); (2; −2); (−1; −2); (0; 2).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (1; 0).

Đồ thị hàm số như sau:

b) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 0).

Ta có: y'(1) = −3.

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tâm đối xứng của nó là:

y =  y'(1)(x – 1) + y(1)

   = −3(x – 1) + 0

   = −3x + 3 (∆).

Ta có: y' = 3x² – 6x = 3(x² – 2x + 1) – 3 = 3(x – 1)² – 3 ≥ −3 với mọi x.

Vậy ∆ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).

c) Ta có: x³ – 3x² – m = 0 ⇔ x³ – 3x² + 2 = m + 2.

Vậy phương trình x³ – 3x² – m = 0 là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m + 2. Suy ra, phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m + 2 cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt, điều này tương đương với −2 < m + 2 < 2 ⇔ −4 < m < 0.