Cho hàm số y = x^3 - 3x^2 + 1. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có dạng y = ax + b. Khi đó tổng 2a + b bằng bao nhiêu?

Cách 1. Thực hiện chia đa thức \(y\) cho \(y'\) để tìm phần dư:

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x\).

Lại có \({x^3} - 3{x^2} + 1 = \left( {\frac{1}{3}x - \frac{1}{3}} \right)\left( {3{x^2} - 6x} \right) - 2x + 1\).

Phần dư của phép chia chính là phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị: \(y = - 2x + 1\).

Suy ra \(a = - 2\) và \(b = 1\).

Giá trị của tổng cần tìm là: \(2a + b = 2 \cdot \left( { - 2} \right) + 1 = - 3\).

Cách 2. Tìm hai điểm cực trị và lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó:

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x\).

Cho \(y' = 3{x^2} - 6x = 0\), suy ra \[x = 0\] hoặc \[x = 2\].

Lập bảng xét dấu ta thấy \[x = 0\] là điểm cực đại và \[x = 2\] là điểm cực tiểu của hàm số.

Ta có \[y\left( 0 \right) = 1\] và \[y\left( 2 \right) = - 3\] nên hai điểm dực trị của đồ thị hàm số là \[\left( {0;1} \right)\] và \[\left( {2; - 3} \right)\].

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là \(y = - 2x + 1\).

Suy ra \(a = - 2\) và \(b = 1\).

Giá trị của tổng cần tìm là: \(2a + b = 2 \cdot \left( { - 2} \right) + 1 = - 3\).

Đáp số: −3.