Cho hàm số y = {x^3} + 3{x^2} + 1 có đồ thị C

2/234

Cho hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} + 1$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $A\left( {1\,;\,\,m} \right).$ Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để qua $A$ có thể kẻ được đúng ba tiếp tuyến tới đồ thị $\left( C \right)$. Số phần tử của $S$ là:

Giải thích

Gọi $k$ là hệ số góc của tiếp tuyến $d$ của đồ thị $\left( C \right)$ đi qua điểm \[A.\]

Khi đó, phương trình của $d$ có dạng: $y = kx + m - k.$

$Cho hàm số y = {x^3} + 3{x^2} + 1 có đồ thị C (ảnh 1)$

Đặt $f\left( x \right) = - 2{x^3} + 6x + 1$.

Để qua $A$ có thể kẻ được đúng 3 tiếp tuyến tới $\left( C \right)$ thì phương trình (*) phải có 3 nghiệm phân biệt, điều đó tương đương với .

Ta có \[f'\left( x \right) = - 6{x^2} + 6\,;\,\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\]. Khi đó, .

Suy ra $ - 3 < m < 5$. Do đó, $m \in \left\{ { - 2; - 1;0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}$. Vậy số phần tử của $S$ là 7. Chọn B.