Cho hàm số y = x^3 − 3x + 1. Xét tính đúng hoặc sai của các mệnh đề sau:

a) Đúng. Ta có \(y' = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\). Xét dấu chỉ ra đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua \(x = 1\) nên \(x = 1\) là điểm cực tiểu.

b) Sai. Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\), nên không thể đồng biến trên cả khoảng \(\left( { - 3;1} \right)\).

c) Sai. Điểm cực đại là \({x_1} = - 1\), điểm cực tiểu là \({x_2} = 1\). Khi đó: \(2{x_1} + {x_2} = 2 \cdot \left( { - 1} \right) + 1 = - 1 \ne 1\).

d) Đúng. Tọa độ các điểm cực trị:

Với \({x_1} = - 1 \Rightarrow {y_1} = 3 \Rightarrow A\left( { - 1;3} \right)\).

Với \({x_2} = 1 \Rightarrow {y_2} = - 1 \Rightarrow B\left( {1; - 1} \right)\).

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị: \(AB = \sqrt {{{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 3} \right)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \).