Cho hàm số: y  x3 − 3mx2 + 9x + 1, có đồ thị (Cm), với m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng (dm): y = x + 10 − 3m cắt đồ thị (Cm) tại 3 điểm phân biệt A, B, C.

y = x³ − 3mx² + 9x + 1 => y' =3x² − 6mx + 9.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (Cm) và đường thẳng (dm) là:

x³ − 3mx² + 9x + 1=x + 10 − 3m

<=>x³ − 3mx² + 8x + 3m − 9 =0

<=> (x³ + 8x − 9) − (3mx² − 3m) =0

<=> (x − 1)(x² + x + 9) − 3m(x − 1)(x + 1) =0

<=> (x − 1)[x² + (1 − 3m)x + 9 − 3m] =0

⇔x=1x2+1−3mx+9−3m=0 *

Cho A là điểm có hoành độ x₁ = 1.

Suy ra hệ số góc tiếp tuyến của (Cm) tại A là k₁ =3.1² − 6m.1 + 9 = 12 − 6m

Để (Cm) cắt đường thẳng (dm) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt và khác 1.

⇒Δ=1−3m2−49−3m>012+1−3m.1+9−3m≠0⇔9m2+6m−35>011−6m≠0⇔m>53m<−73m≠116⇔m>53m≠116m<−73

Hoành độ của B và C là hai nghiệm của phương trình (*) với theo Vi-ét:

x2+x3=3m−1x2x3=9−3m

Hệ số góc tiếp tuyến của (Cm) tại B, C lần lượt là:

k₂ =3x₂² − 6mx₂ + 9 và k₃ =3x₃² − 6mx₃ + 9

Để k₁ + k₂ + k₃ > 15

<=> (12 − 6m) + (3x₂² − 6mx₂ + 9) + (3x₃² − 6mx₃ + 9) > 15

<=> 3(x₂² + x₃²) − 6m(x₂ + x₃) + 30 − 6m > 15

<=> 3[(x₂ + x₃)² − 2x₂x₃] − 6m(x₂ + x₃) + 30 − 6m > 15

<=> 3[(3m − 1)² − 2(9 − 3m)] − 6m(3m − 1) + 30 − 6m > 15

<=> 3(9m² − 6m + 1 − 18 + 6m) − 18m² + 6m + 30 − 6m > 15

<=> 9m² > 36 Û m² > 4

⇒m>2m<−2

Kết hợp các điều kiện của m suy ra m∈−∞; −73∪2; +∞