Cho hàm số \(y = {x^3} - 3m{x^2} + 3( {{m^2} - 1} )x + 2025\), (tham số \(m\)). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau

a) Đ, b) S, c) S, d) S

Ta có \(y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {{m^2} - 1} \right)\).

Với \(m = 1\), ta có \(y' = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên,

a) Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\).

b) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\).

c) Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) bằng \(2021\).

d) Ta có \(y' = 3{x^2} - 6mx + 3\left( {{m^2} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = m - 1\\{x_2} = m + 1\end{array} \right.\).

Để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \({x_1} \le 0 < {x_2}\) hoặc \(0 < {x_1} < {x_2}\).

TH1:\({x_1} \le 0 < {x_2}\)\( \Leftrightarrow m - 1 \le 0 < m + 1 \Leftrightarrow - 1 < m \le 1\). Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {0;1} \right\}\).

Bảng biến thiên

TH2: \(0 < {x_1} < {x_2}\)

Bảng biến thiên của hàm số

Hàm số có giá trị nhỏ nhất trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\y\left( {m + 1} \right) \le y\left( 0 \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{\left( {m + 1} \right)^3} - 3m{\left( {m + 1} \right)^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right)\left( {m + 1} \right) + 2025 \le 2025\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\{\left( {m + 1} \right)^2}\left( {m - 2} \right) \le 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left[ \begin{array}{l}m \le 2\\m = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 1 < m \le 2\). Do \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = 2\).

Vậy có tất cả 3 giá trị của \(m\).