Cho hàm số y = x^3 − 3mx^2 + 2 có đồ thị (Cm) và đường thẳng Δ: y = −x + 2. Biết (Cm) có hai cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến đường thẳng Δ bằng . Tìm m.

Xét y’ = 0, ta có:

y’ = 3x² – 6mx = 3x(x – 2m) = 0

⇔x=0     x=2m

Điều kiện để có hai cực trị là 2m ¹ 0 hay m ¹ 0.

Tọa độ 2 điểm cực trị là: A(0; 2) và B(2m; 2 – 4m³)

Nếu m < 0: A là điểm cực tiểu.

Khi đó d(A; ∆) = 0 ¹ 2 (loại)

Nếu m > 0 thì B là cực tiểu

Khi đó d(B;  Δ)=2⇔2m3−m=1

⇔2m3−m=1   2m3−m=−1⇔m=1   m=−1

Do m > 0 nên m = 1.

Vậy m = 1.