Cho hàm số y = x^3 − ( 2 m + 1 ) x − 3 có hai điểm cực trị là A , B . Gọi M , N là hai giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị A , B và đường tròn ( C ) : ( x + 1 )^2 + ( y

29/50

Cho hàm số \(y = {x^3} - \left( {2m + 1} \right)x - 3\) có hai điểm cực trị là \(A,B\). Gọi \(M,N\) là hai giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \(A,B\) và đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 16\) sao cho khoảng cách \(MN\) lớn nhất. Khoảng cách từ điểm \(E\left( {2;1} \right)\) đến đường thẳng \(AB\) là:

\(3\sqrt 2 \).

\(3\).

\(\frac{{23\sqrt {58} }}{{29}}\).

\(\frac{{16\sqrt {58} }}{{29}}\)

Giải thích

\(y' = 3{x^2} - \left( {2m + 1} \right)\)

Hàm số đã cho có hai cực trị \( \Leftrightarrow y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > \frac{{ - 1}}{2}\)

Ta có: \(y = {x^3} - \left( {2m + 1} \right)x - 3 = \frac{x}{3} \cdot y' - \frac{2}{3}\left( {2m + 1} \right)x - 3\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số đã cho là: \(d:y = \frac{{ - 2}}{3}\left( {2m + 1} \right)x - 3\)

Đường thẳng d luôn đi qua điểm cố định \(K\left( {0; - 3} \right)\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1; - 2} \right)\) và bán kính \(R = 4\)

\(d\left( {I,d} \right) \le IK = \sqrt 2 < R = 4\) nên đường thẳng luôn cắt đường tròn tại hai điểm \(M,N\)

Để khoảng cách \(MN\) lớn nhất thì đường thẳng d đi qua tâm \(I\). Khi đó \(MN = 2R\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(I\) thỏa mãn phương trình đường thẳng \(d\):

\( - 2 = \frac{{ - 2}}{3}\left( {2m + 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) - 3 \Rightarrow m = \frac{1}{4}\)

Phương trình đường thẳng \(d:y = - x - 3 \Leftrightarrow x + y + 3 = 0\).

Khoảng cách từ điểm \(E\) đến đường thẳng \(d:d\left( {E,d} \right) = \frac{{\left| {2 + 1 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 3\sqrt 2 \). Chọn A.