Cho hàm số y = x^3 - 12x^2 + 45x - 2

Cho hàm số \(y = {x^3} - 12{x^2} + 45x - 2\).

Ta tính đạo hàm: \(y' = 3{x^2} - 24x + 45\).

Cho \(y' = 0 \Rightarrow 3{x^2} - 24x + 45 = 0 \Rightarrow x = 3\) hoặc \(x = 5\).

Xét dấu:

Khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\): \(y' > 0\) (đồng biến)

Khoảng \(\left( {3;5} \right)\): \(y' < 0\) (nghịch biến)

Khoảng \(\left( {5; + \infty } \right)\): \(y' > 0\) (đồng biến)

Các giá trị cực trị:

\(y\left( 3 \right) = {3^3} - 12 \cdot {3^2} + 45 \cdot 3 - 2 = 52\) (Giá trị cực đại);

\(y\left( 5 \right) = {5^3} - 12 \cdot {5^2} + 45 \cdot 5 - 2 = 48\) (Giá trị cực tiểu).

Xét tính đúng sai:

a) Sai. Đạo hàm đúng phải là \(y' = 3{x^2} - 24x + 45\).

b) Đúng. Trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\), hàm số nghịch biến từ \(x = 3\) đến \(x = 5\) (giảm từ 52 xuống 48), sau đó đồng biến từ \(x = 5\) đến \( + \infty \) (tăng từ 48 lên \( + \infty \)). Do đó điểm thấp nhất trên nửa khoảng này đạt được tại \(x = 5\) với giá trị cực tiểu \(y = 48\).

c) Sai. Giá trị cực đại của hàm số là \(y = 52\) (tại \(x = 3\)). Giá trị \(48\) là giá trị cực tiểu.

d) Sai. Trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\), \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến.