Cho hàm số y = (x^2 + x − 5)/(x − 2).

Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Ý a): ĐÚNG.

Ta có \(y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} + x - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2{x^2} - 3x - 2} \right) - \left( {{x^2} + x - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

Ý b): SAI.

Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 3\).

Bảng xét dấu \(y'\) chỉ ra rằng \(y' < 0\) trên \(\left( {1;2} \right)\) và \(\left( {2;3} \right)\). Vì hàm số không xác định tại \(x = 2\), hàm số không thể nghịch biến liên tục trên toàn khoảng \(\left( {1;3} \right)\).

Ý c): SAI.

Qua \(x = 1\), \(y'\) đổi dấu từ dương sang âm nên \(x = 1\) là điểm cực đại. Qua \(x = 3\), \(y'\) đổi dấu từ âm sang dương nên \(x = 3\) là điểm cực tiểu. Do đó hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 3\).

Ý d): ĐÚNG.

Ta phân tích: \(y = \frac{{{x^2} + x - 5}}{{x - 2}} = \frac{{x\left( {x - 2} \right) + 3\left( {x - 2} \right) + 1}}{{x - 2}} = x + 3 + \frac{1}{{x - 2}}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \frac{1}{{x - 2}} = 0\), đường tiệm cận xiên là \(y = x + 3\).