Cho hàm số: y = {x^2} - mx + 4} / {x - m

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Đạo hàm và biện luận phương trình bậc 2

Lời giải

Xét hàm số : \(y = \frac{{{x^2} - mx + 4}}{{x - m}}\)

Tập xác định \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\)

\(y' = \frac{{{x^2} - 2mx + {m^2} - 4}}{{{{(x - m)}^2}}}\)

Xét: \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 4 = 0\) (*)

Để hàm số có hai cực trị thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác \(m\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} - 2{m^2} + {m^2} - 4 \ne 0}\\{{\rm{\Delta '}} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4 \ne 0}\\{{\rm{\Delta '}} = 4 > 0}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy hàm số luôn có hai cực trị với mọi \(m\)

Phương trình \(\left( {\rm{*}} \right)\) có hai nghiệm: \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = \frac{{m + 2}}{1} = m + 2}\\{{x_2} = \frac{{m - 2}}{1} = m - 2}\end{array}} \right.\)

Theo bài ta có :

\(\begin{array}{l}{x_1}^3 + {x_2}^3 = {(m + 2)^3} + {(m - 2)^3}\\ = (m + 2 + m - 2)\left[ {{{(m + 2)}^2} - (m + 2)(m - 2) + {{(m - 2)}^2}} \right]\\ = 2m\left( {{m^2} + 4m + 4 - {m^2} + 4 + {m^2} - 4m + 4} \right)\\ = 2m\left( {{m^2} + 8} \right)\end{array}\)

Mà \({x_1}{\;^3} + {x_2}{\;^3} = 18 \Rightarrow 2{m^3} + 16m = 18 \Leftrightarrow 2{m^3} + 16m - 18 = 0 \Rightarrow m = 1\)