Cho hàm số y = | {{{x^2} - ( {m + 1} )x + 2m + 2} / {x - 2}}} |

29/235

Cho hàm số $y = \left| {\frac{{{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x - 2}}} \right|$ ($m$ là tham số). Giá trị nhỏ nhất của là

$\frac{5}{4}$

$\frac{5}{8}$.

$\frac{1}{2}$.

Giải thích

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Xét các trường hợp của tham số $m$ để đạt min.

Lời giải

Xét hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x - 2}}$ trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Hàm số $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + 2m + 2}}{{x - 2}}$ liên tục trên đoạn $\left[ { - 1;1} \right]$.

$f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x}}{{x - 2}}$

$f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4x}}{{x - 2}} = 0 \Rightarrow x = {0_{\left( n \right)}} \vee x = {4_{\left( l \right)}}$

Ta có $f\left( { - 1} \right) = - \frac{{3m + 4}}{3};f\left( 0 \right) = - \left( {m + 1} \right);f\left( 1 \right) = - \left( {m + 2} \right)$

BBT

$Cho hàm số y = | {{{x^2} - ( {m + 1} )x + 2m + 2} / {x - 2}}} | (ảnh 1)$

Xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1:$ - m - 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \le - 2$. Khi đó

nên giá trị nhỏ nhất của là 1.

Trường hợp 2: $ - m - 2 \le 0 < - m - \frac{4}{3} \Leftrightarrow - 2 \le m < \frac{{ - 4}}{3}$. Khi đó để đạt giá trị nhỏ nhất thì nên giá trị nhỏ nhất của là $\left| { - \left( { - \frac{3}{2}} \right) - 2} \right| = \frac{1}{2}$.

Trường hợp 3: $ - m - \frac{4}{3} \le 0 \Leftrightarrow m \ge - \frac{4}{3}$. Khi đó

nên giá trị nhỏ nhất của là $\frac{2}{3}$.

Tóm lại, khi $m = - \frac{3}{2}$ thì đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{1}{2}$.