Cho hàm số y = x^2 có đồ thị ( P ) và đường thẳng ( d ) : y = 2x − m + 3 (với m là tham số)

Đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x - m + 3\) và \(\left( P \right):y = {x^2}\) cắt nhau thì \({x^2} = 2x - m + 3\) hay \({x^2} - 2x + m - 3 = 0\).

Xét \({\rm{\Delta '}} = {\left( {\frac{{ - 2}}{2}} \right)^2} - \left( {m - 3} \right) = 1 - m + 3 = 4 - m\).

Để đường thẳng \(\left( {\rm{d}} \right)\) cắt đồ thị \(\left( {\rm{P}} \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \({x^2} - 2x + m - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt, suy ra \({\rm{\Delta '}} = 4 - m > 0\) nên \(m < 4\) (1) Áp dụng định lí Viète, ta có: \({x_1}{x_2} = \frac{{m - 3}}{1} = m - 3\)

Để đường thẳng \(\left( {\rm{d}} \right)\) cắt đồ thị \(\left( {\rm{P}} \right)\) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung thì hoành độ \({x_1}\) và \({x_2}\) trái dấu hay \({x_1}{x_2} = m - 3 < 0\).

Do đó \(m < 3\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(m < 3\).
Các giá trị nguyên dương của \(m\) thoả mãn là \(1\,;\,\,2.\)
Vậy với \(m \in \left\{ {1\,;\,\,2} \right\}\) thì đường thẳng \(\left( {\rm{d}} \right)\) cắt đồ thị \(\left( {\rm{P}} \right)\) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía đối với trục tung.