Cho hàm số \(y = {x^2}\) có đồ thị là đường parabol

a)Ta có: \(\left( d \right){\rm{//}}\left( \Delta  \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m = 5 - m\\5 \ne  - 3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow m = 1\).

Vậy \(m = 1\) thì hai đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( \Delta  \right)\) song song với nhau.

b)Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) là:

\({x^2} = 4mx + 5\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 4mx - 5 = 0\) (*)

Ta có: \(a = 1,c =  - 5;ac =  - 5 < 0\) nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) với mọi giá trị của tham số \(m\).

Theo hệ thức Vi-et ta có \({x_1} + {x_2} = 4m\), vì \({x_2}\) là nghiệm của phương trình (*) nên  \(x_2^2 = 4m{x_2} + 5\).

Ta có: \(x_2^2 + 4m{x_1} = 105 \Leftrightarrow 4m{x_2} + 5 + 4m{x_1} = 105\)

\( \Leftrightarrow 4m\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 100 \Leftrightarrow {\left( {4m} \right)^2} = 100 \Leftrightarrow m =  \pm \frac{5}{2}\).